Traitement numérique

Cet article est utile pour les élèves de collèges et de lycées techniques. Le microprocesseur, cerveau de l'ordinateur, effectue l'ensemble des calculs.



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Microprocesseur - Carte mère - Calcul numérique

Cet article est utile pour les élèves de collèges et de lycées techniques. Le microprocesseur, cerveau de l'ordinateur, effectue l'ensemble des calculs.

Système de numération

Base

Une base B caractérise un dispositif de numération dans lequel tout nombre N peut s'écrire : N = mnBn + mn-1Bn-1 + M1B + m0B0 avec l'ensemble des cœfficients m < B.

Exemples

Tableau numérique

Base décimale Base binaire Base octale Base hexadécimale
0 0 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
... ... ... ...

Pondération

Représenter un nombre NB de n chiffres (ou symboles), dans une base B donnée, consiste en l'écriture en ligne de ces n chiffres de façon telle que : NB = (§) n-1… (§) i ... (§) 5 (§) 4 (§) 3 (§) 2 (§) 1 (§) 0

Avec : § : un quelconque des B chiffres ou symboles de la base, n - 1, .... i, 5, 4, 3, 2, 1, 0 indices indiquant le rang ou la position d'ordre du chiffre à partir de la droite.

La pondération permet l'attribution d'une valeur numérique ou poids à chacun des rangs. Ce poids P dépend de la base dans laquelle est représenté le nombre et a pour valeur : P=Brang

Exemple

Dans le nombre décimal 425, le chiffre 5 est en position d'ordre 1 ou rang 0, le chiffre 2 en position d'ordre 2 ou rang 1 et le chiffre 4 en position d'ordre 3 ou rang 2.

4 2 5 nombre

2 1 0 rang

Pour la base 10, dispositif décimal :

Note

Dans le dispositif binaire on ne parle plus d'unité, de dizaine ou de centaine mais de bit (contraction de l'anglais binary digit, qui veut dire rang binaire). On peut distinguer ainsi le bit 0, le bit 1, le bit 2, le bit 3... L'équivalent français de bit est élément binaire ou eb, ce terme est assez peu employé.

Code binaire pur

Le code binaire pur ou code binaire naturel est un code pondéré dans lequel les poids sont représentés par les puissances successives de deux. La valeur décimale du nombre binaire représenté s'obtient directement par addition du poids affecté à chaque bit de valeur 1.

Note

Un groupe de huit bits est nommé octet (en anglais byte of 8 bits). Un groupe de quatre bits est nommé quartet (en anglais byte of 4 bits).

Exemple

Le nombre binaire 110011 a pour valeur : 1 × 25 + l × 24 + 0 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 21 + 1 × 20 Soit en décimal : 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51

24 (16) 2³ (8) 2² (4) 21 (2) 20 (1) Équivalent décimal N (10)
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 2
0 0 1 1 2 + 1 ou 3
0 1 0 0 4
0 1 0 1 4 + 1 ou 5
0 1 1 0 4 + 2 ou 6
0 1 1 1 4 + 2 + 1 ou 7
1 0 0 0 8
1 0 0 1 8 + 1 ou 9
1 0 1 0 8 + 2 ou 10
1 0 1 1 8 + 2 + 1 ou 11
1 1 0 0 8 + 4 ou 12
1 1 0 1 8 + 4 + 1 ou 13
1 1 1 0 8 + 4 + 2 ou 14
1 1 1 1 8 + 4 + 2 + 1 ou 15
1 0 0 0 0 16
1 0 0 0 1 16 + 1 ou 17
1 0 0 1 0 16 + 2 ou 18

Code de Gray (code binaire réfléchi)

Dans le code binaire pur le passage d'une combinaison à l'autre entraîne quelquefois le changement simultané de plusieurs bits. C'est par exemple le cas pour la transition de l'équivalent décimal 3 à l'équivalent décimal 4 pour laquelle les bits de poids 1 et 2 passent de 1 à 0 et le bit de poids 4 passe de 0 à 1. Pour éviter cet inconvénient, cause d'aléas quand le code permet de la représentation de grandeurs physiques à variation continue, informations de position par exemple, il est indispensable d'imaginer des codes pour lesquels le passage d'une combinaison à la suivante n'implique que la modification d'un bit et d'un seul. De tels codes sont nommés "codes réfléchis". Parmi ceux-ci, le code de Gray est le plus employé.

Plus d'infos sur le Code de Gray sont disponibles sur Internet. Voir sur Google.

Note

Un code réfléchi qui est un code non pondéré ne est parfois utilisé pour les opérations arithmétiques.

Représentation hexadécimale des nombres binaires

La représentation hexadécimale ou représentation à base 16 est une notation condensée des nombres binaires. En remarquant que 24 = 16, on peut représenter un octet binaire avec l'un des 16 symboles du dispositif hexadécimal. Dans ce dispositif les dix premiers symboles sont semblables à ceux utilisés dans le dispositif décimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, et les six derniers correspondent aux premières lettres de l'alphabet latin : A, B, C, D, E et F, lesquelles valent respectivement : 10, 11, 12, 13, 14 et 15 en base 10.

Transcodage

Passage de la base 2 à la base 16

Pour représenter en hexadécimal un nombre binaire, il suffit de le découper en groupe de quatre bits. Chacun des bits de ces groupes ayant une pondération s'échelonnant de 20 à 23, leur somme apporte la valeur hexadécimale de chaque groupe.

Exemple

Soit le nombre binaire 1011100110101100 à convertir en hexadécimal. Le découpage en quartets de ce nombre donne : 1011 1001 1010 1100

Après pondération, la somme S, bit par bit de chaque groupe de quatre bits est :

2³ (8) 2² (4) 21 (2) 20 (1) S
1 0 1 1 11 Soit B (16)
1 0 0 1 9 Soit 9 (16)
1 0 1 0 10 Soit A (16)
1 1 0 0 12 Soit C (16)

Le nombre hexadécimal correspondant au nombre binaire 1011100110101100 est : B9AC

Passage de la base 16 à la base 2

Pour convertir en binaire un nombre hexadécimal, il convient de remplacer chacun des symboles hexadécimaux par son quartet binaire équivalent.

Exemple

Les trois quartets binaires équivalents au nombre hexadécimal 8D6 sont :

2³ (8) 2² (4) 21 (2) 20 (1)
8 1 0 0 0
D 1 1 0 1
6 0 1 1 0

Le nombre binaire correspondant au nombre hexadécimal 8D6 est : 1000 1101 0110

Représentation octale des nombres binaires

Comme la représentation hexadécimale la représentation octale ou représentation à base 8 est une notation condensée des nombres binaires. En remarquant que 2³ = 8, on peut représenter un triplet binaire avec l'un des 8 symboles du dispositif octal. Ces huit symboles sont semblables au huit premiers chiffres du dispositif décimal, soit : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

Pour représenter en octal un nombre binaire, il suffit de le découper en groupe de trois bits ou triplet. Chacun des bits de ces groupes ayant une pondération s'échelonnant de 20 à 2² leur somme apporte la valeur octale de chaque groupe.

Soit le nombre binaire 110101100 à convertir en octal. Le découpage en triplets de ce nombre donne : 110 101 100

Après pondération, la somme S, bit par bit de chaque groupe est :

2² (4) 21 (2) 20 (1) S
1 1 0 6 Soit 6 (8)
1 0 1 5 Soit 5 (8)
1 0 0 4 Soit 4 (8)

Le nombre octal correspondant au nombre binaire 110101100 est : 654

Représentation binaire codée décimale

Dans la représentation binaire codée décimale à chacun des éléments décimaux correspond un quartet représentatif de son équivalent binaire.

Ainsi :

Le code Binaire Codé Décimal (BCD) est un code pondéré.

Les poids des bits représentatifs sont :

Exemple

Le nombre décimal 2001 (10) devient en BCD : 0010 0000 0000 0001. Inversement, le nombre BCD 1001 0101 0001 0111 devient en décimal 9517.

Récapitulations

Tableau récapitulatif de conversion des dispositifs

Base décimale Base binaire Base octale Base hexadécimale
0 0 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
... ... ... ...

Récapitualtif des méthodes de conversion

Conversion binaire - décimal

La méthode consiste à décomposer le nombre en puissances décroissantes de 2 en partant du rang le plus haut, soit :

Conversion décimal - binaire

On effectue des divisions successives par 2 (voir plus en haut).

Conversion hexadécimal - décimal

La méthode consiste à décomposer le nombre en puissances décroissantes de 16 en partant du rang le plus haut, soit :

Conversion décimal - hexadécimal

On effectue des divisions successives par 16 (voir plus en haut).

Conversion octal - décimal

La méthode consiste à décomposer le nombre en puissances décroissantes de 8 en partant du rang le plus haut, soit :

Conversion décimal - octal

On effectue des divisions successives par 8 (voir plus en haut).

Opérations arithmétiques en base 2

Les opérations les plus habituelles en base 2 sont l'addition et la soustraction. Ces opérations s'effectuent de la même manière que les opérations décimales en utilisant des tables d'addition et de soustraction bien plus simples.

Addition binaire

L'addition est l'opération qui consiste à effectuer : tout d'abord, la somme Si de deux chiffres binaires de même rang tels que Ai et Bi par exemple, puis, dans un second temps, une deuxième somme entre le résultat auparavant obtenu et la valeur du report ou retenue Ri-1, issu de l'addition aval de rang i - 1.

Exemple

Effectuer l'addition de deux nombres binaires A et B tels que :

Décomposition de la procédure :

Résultat final

Le résultat définitif est donc : 1001 soit 9 en décimal (6 + 3 = 9).

Voir aussi

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"7.1 - Conversion binaire"

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